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Inhaltsverzeichnis
Vorwort
1 Java ist auch eine Sprache
2 Imperative Sprachkonzepte
3 Klassen und Objekte
4 Der Umgang mit Zeichenketten
5 Eigene Klassen schreiben
6 Objektorientierte Beziehungsfragen
7 Ausnahmen müssen sein
8 Äußere.innere Klassen
9 Besondere Typen der Java SE
10 Generics<T>
11 Lambda-Ausdrücke und funktionale Programmierung
12 Architektur, Design und angewandte Objektorientierung
13 Die Klassenbibliothek
14 Einführung in die nebenläufige Programmierung
15 Einführung in Datenstrukturen und Algorithmen
16 Einführung in grafische Oberflächen
17 Einführung in Dateien und Datenströme
18 Einführung ins Datenbankmanagement mit JDBC
19 Einführung in <XML>
20 Testen mit JUnit
21 Bits und Bytes und Mathematisches
22 Die Werkzeuge des JDK
A Java SE Paketübersicht
Stichwortverzeichnis

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Java ist auch eine Insel von Christian Ullenbloom
Das umfassende Handbuch
Buch: Java ist auch eine Insel

Java ist auch eine Insel
Rheinwerk Computing
1306 Seiten, gebunden, 11. Auflage
49,90 Euro, ISBN 978-3-8362-2873-2
Pfeil 21 Bits und Bytes und Mathematisches
Pfeil 21.1 Bits und Bytes *
Pfeil 21.1.1 Die Bit-Operatoren Komplement, Und, Oder und XOR
Pfeil 21.1.2 Repräsentation ganzer Zahlen in Java – das Zweierkomplement
Pfeil 21.1.3 Das binäre (Basis 2), oktale (Basis 8), hexadezimale (Basis 16) Stellenwertsystem
Pfeil 21.1.4 Auswirkung der Typanpassung auf die Bitmuster
Pfeil 21.1.5 Vorzeichenlos arbeiten
Pfeil 21.1.6 Die Verschiebeoperatoren
Pfeil 21.1.7 Ein Bit setzen, löschen, umdrehen und testen
Pfeil 21.1.8 Bit-Methoden der Integer- und Long-Klasse
Pfeil 21.2 Fließkomma-Arithmetik in Java
Pfeil 21.2.1 Spezialwerte für Unendlich, Null, NaN
Pfeil 21.2.2 Standardnotation und wissenschaftliche Notation bei Fließkommazahlen *
Pfeil 21.2.3 Mantisse und Exponent *
Pfeil 21.3 Die Eigenschaften der Klasse Math
Pfeil 21.3.1 Attribute
Pfeil 21.3.2 Absolutwerte und Vorzeichen
Pfeil 21.3.3 Maximum/Minimum
Pfeil 21.3.4 Runden von Werten
Pfeil 21.3.5 Rest der ganzzahligen Division *
Pfeil 21.3.6 Division mit Rundung Richtung negativ unendlich, alternativer Restwert *
Pfeil 21.3.7 Wurzel- und Exponentialmethoden
Pfeil 21.3.8 Der Logarithmus *
Pfeil 21.3.9 Winkelmethoden *
Pfeil 21.3.10 Zufallszahlen
Pfeil 21.4 Genauigkeit, Wertebereich eines Typs und Überlaufkontrolle *
Pfeil 21.4.1 Der größte und der kleinste Wert
Pfeil 21.4.2 Überlauf
Pfeil 21.4.3 Was bitte macht ein ulp?
Pfeil 21.5 Zufallszahlen: Random, SecureRandom, SplittableRandom
Pfeil 21.5.1 Die Klasse Random
Pfeil 21.5.2 Random-Objekte mit dem Samen aufbauen
Pfeil 21.5.3 Einzelne Zufallszahlen erzeugen
Pfeil 21.5.4 Pseudo-Zufallszahlen in der Normalverteilung *
Pfeil 21.5.5 Strom von Zufallszahlen generieren *
Pfeil 21.5.6 Die Klasse SecureRandom *
Pfeil 21.5.7 SplittableRandom *
Pfeil 21.6 Große Zahlen *
Pfeil 21.6.1 Die Klasse BigInteger
Pfeil 21.6.2 Beispiel: Ganz lange Fakultäten mit BigInteger
Pfeil 21.6.3 Große Fließkommazahlen mit BigDecimal
Pfeil 21.6.4 Mit MathContext komfortabel die Rechengenauigkeit setzen
Pfeil 21.7 Mathe bitte strikt *
Pfeil 21.7.1 Strikte Fließkommaberechnungen mit strictfp
Pfeil 21.7.2 Die Klassen Math und StrictMath
Pfeil 21.8 Zum Weiterlesen
 
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21.2Fließkomma-Arithmetik in Java Zur vorigen ÜberschriftZur nächsten Überschrift

Zahlen mit einem Komma nennen sich Gleitkomma-, Fließkomma-, Fließpunkt- oder Bruchzahlen (gebrochene Zahlen). Der Begriff »Gleitkommazahl« kommt daher, dass die Zahl durch das Gleiten (Verschieben) des Dezimalpunktes als Produkt aus einer Zahl und einer Potenz der Zahl 10 dargestellt wird (also 1,23 = 123 × 10–2).

Java unterstützt für Fließkommazahlen die Typen float und double, die sich nach der Spezifikation IEEE 754 richten. Diesen Standard des Institute of Electrical and Electronics Engineers gibt es seit Mitte der 1980er Jahre. Ein float hat die Länge von 32 Bit und ein double die Länge von 64 Bit. Die Rechenoperationen sind im IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic definiert.

[+]Hinweis

Wir sollten uns bewusst sein, dass die Genauigkeit von float wirklich nicht so toll ist. Schnell beginnt, die Ungenauigkeit zuzuschlagen:

System.out.println( 2345678.88f ); // 2345679.0
 
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21.2.1Spezialwerte für Unendlich, Null, NaN Zur vorigen ÜberschriftZur nächsten Überschrift

Die Datentypen double und float können nicht nur »Standardzahlen« speichern, sondern auch

  • eine positive oder negative Null annehmen,

und zudem definiert Java Sonderwerte für

  • positives und negatives Unendlich (engl. infinity) und

  • NaN, die Abkürzung für Not a Number.

Positive, negative Null

Es gibt eine positive Null (+0,0) und eine negative Null (–0,0), die etwa beim Unterlauf auftauchen.

[zB]Beispiel

Der Unterlauf erzeugt:

System.out.println( 1E-322 * 0.0001 ); // 0.0
System.out.println( 1E-322 * –0.0001 ); // –0.0

Für den Vergleichsoperator == ist die positive Null gleich der negativen Null, sodass 0.0 == ‐0.0 das Ergebnis true ergibt. Damit ist auch 0.0 > -0.0 falsch. Die Bitmaske ist jedoch unterscheidbar, was der Vergleich Double.doubleToLongBits(+0.0) != Double.doubleToLongBits(0.0) zeigt.

Es gibt einen weiteren kleinen Unterschied, den die Rechnung 1.0 / 0.0 und 1.0 / 0.0 zeigt. Durch den Grenzwert geht das Ergebnis einmal gegen negativ unendlich und einmal gegen positiv unendlich.

Unendlich

Der Überlauf einer mathematischen Operation führt zu einem positiven oder negativen Unendlich.

[zB]Beispiel

Multiplikation zweier wirklich großer Werte:

System.out.println( 1E300 * 1E20 ); // Infinity
System.out.println( –1E300 * 1E20 ); // -Infinity

Für die Werte deklariert die Java-Bibliothek in Double und Float zwei Konstanten; zusammen mit der größten und kleinsten darstellbaren Fließkommazahl sind das:

Wert für

Float

Double

positiv unendlich

Float.POSITIVE_INFINITY

Double.POSITIVE_INFINITY

negativ unendlich

Float.NEGATIVE_INFINITY

Double.NEGATIVE_INFINITY

kleinster Wert

Float.MIN_VALUE

Double.MIN_VALUE

größter Wert

Float.MAX_VALUE

Double.MAX_VALUE

Tabelle 21.8Spezialwerte und ihre Konstanten

Das Minimum für double-Werte liegt bei etwa 10^–324 und das Maximum bei etwa 10^308. Weiterhin deklarieren Double und Float Konstanten für MAX_EXPONENT/MIN_EXPONENT.

[+]Hinweis

Die Anzeige des Über-/Unterlaufs und des undefinierten Ergebnisses gibt es nur bei Fließkommazahlen, nicht aber bei Ganzzahlen.

public final class java.lang.Float/Double
extends Number
implements Comparable<Float/Double>

  • static boolean isInfinite(float/double v)
    Liefert true, wenn v entweder POSITIVE_INFINITY oder NEGATIVE_INFINITY ist.

  • static boolean isFinite(float/double d)Liefert true, wenn d eine endliche Zahl ist. Neu in Java 8.

NaN

NaN wird als Fehlerindikator für das Ergebnis von undefinierten Rechenoperationen benutzt, etwa 0/0.

[zB]Beispiel

Erzeuge NaN durch den Versuch, die Wurzel einer negativen Zahl zu bilden, und durch eine Nullkommanix-Division:

System.out.println( Math.sqrt(-4) ); // NaN
System.out.println( 0.0 / 0.0); // NaN

NaN ist als Konstante in den Klassen Float/Double deklariert. Die statische Methode isNaN(…) testet, ob eine Zahl NaN ist.

public final class java.lang.Float/Double
extends Number
implements Comparable<Float/Double>

  • static final float/double NaN = 0.0 / 0.0;
    Deklaration von NaN bei Double

  • public static boolean isNaN(float/double v)
    Liefert true, wenn die übergebene Zahl v NaN ist.

  • boolean isNaN()
    Liefert true, wenn das aktuelle Float/Double-Objekt NaN ist.

Die Implementierung von isNan(float/double v) ist einfach: return v != v.

Alles hat seine Ordnung *

Außer für den Wert NaN ist auf allen Fließkommazahlen eine totale Ordnung definiert. Das heißt, sie lassen sich von der kleinsten Zahl bis zur größten aufzählen. Am Rand steht die negative Unendlichkeit, dann folgen die negativen Zahlen, negative Null, positive Null, positive Zahlen und positives Unendlich. Bleibt nur noch die einzige unsortierte Zahl NaN. Alle numerischen Vergleiche <, <=, >, >= mit der Java-NaN liefern false. Der Vergleich mit == ist false, wenn einer der Operanden NaN ist. != verhält sich umgekehrt, ist also true, wenn einer der Operanden NaN ist.

[zB]Beispiel

NaN beim Gleichheitstest:

System.out.println( Double.NaN == Double.NaN ); // false
System.out.println( Double.NaN != Double.NaN ); // true

Da NaN nicht zu sich selbst gleich ist, wird die folgende Konstruktion, die üblicherweise eine Endlosschleife darstellt, mit d als Double.NaN einfach übersprungen:

while ( d == d ) { /* Nie ausgeführt */ }

Ein NaN-Wert auf eine Ganzzahl angepasst, also etwa (int) Double.NaN, ergibt 0.

Stille NaNs *

Eine Problematik in der Fließkomma-Arithmetik ist, dass keine Ausnahmen die Fehler anzeigen; NaNs solcher Art heißen auch stille NaNs (engl. Quiet NaNs [qNaNs]). Als Entwickler müssen wir also immer selbst schauen, ob das Ergebnis während einer Berechnung korrekt bleibt. Ein durchschnittlicher numerischer Prozessor unterscheidet ein qNaN und ein signaling NaN (sNaN).

 
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21.2.2Standardnotation und wissenschaftliche Notation bei Fließkommazahlen * Zur vorigen ÜberschriftZur nächsten Überschrift

Zur Darstellung der Fließkommaliterale gibt es zwei Notationen: Standard und wissenschaftlich. Die wissenschaftliche Notation ist eine Erweiterung der Standardnotation. Bei ihr folgt hinter den Nachkommastellen ein »E« (oder »e«) mit einem Exponenten zur Basis 10. Der Vorkommateil darf durch die Vorzeichen »+« oder »–« eingeleitet werden. Auch der Exponent kann positiv oder negativ[ 255 ] sein, muss aber eine Ganzzahl sein. Tabelle 21.9 stellt drei Beispiele zusammen:

Standard

Wissenschaftlich

123450.0

1.2345E5

123450.0

1.2345E+5

0.000012345

1.2345E–5

Tabelle 21.9Notationen der Fließkommazahlen

[zB]Beispiel

Nutzen der wissenschaftlichen Notation:

double x = 3.00e+8;
float y = 3.00E+8F;
 
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21.2.3Mantisse und Exponent * Zur vorigen ÜberschriftZur nächsten Überschrift

Intern bestehen Fließkommazahlen aus drei Teilen: einem Vorzeichen, einem ganzzahligen Exponenten und einer Mantisse (engl. mantissa). Während die Mantisse die Genauigkeit bestimmt, gibt der Exponent die Größenordnung der Zahl an.

Die Berechnung für Fließkommazahlen aus den drei Elementen ist im Prinzip wie folgt: Vorzeichen × Mantisse × 2 ^ Exponent, wobei Vorzeichen –1 oder +1 sein kann. Die Mantisse m ist keine Zahl mit beliebigem Wertebereich, sondern normiert mit dem Wertebereich 1 <= m < 2, also eine Fließkommazahl, die mit 1 beginnt und daher auch 1-plus-Form heißt.[ 256 ] Auch der zunächst vorzeichenbehaftete Exponent wird nicht direkt gespeichert, sondern als angepasster Exponent (engl. biased exponent) in der IEEE-kodierten Darstellung abgelegt. Zu unserem Exponenten wird, abhängig von der Genauigkeit, +127 (bei float) und +1023 (bei double) addiert; nach der Berechnung steht in der Darstellung immer eine ganze Zahl. 127 und 1023 nennen sich Bias.

Das Vorzeichen kostet immer 1 Bit, und die Anzahl der Bits für Exponent und Mantisse richtet sich nach dem Datentyp:

Datentyp

Anzahl Bits für den Exponenten

Anzahl Bits für die Mantisse

float

8

23

double

11

52

Tabelle 21.10Anzahl der Bits für Exponent und Mantisse

[zB]Beispiel

Das Folgende sind Kodierungen für die Zahl 123456,789 als float und double. Das »×« trennt Vorzeichen, Exponent und Mantisse:

0×10001111×11100010010000001100101
0×10000001111×1110001001000000110010011111101111100111011011001001

Um von dieser Darstellung auf die Zahl zu kommen, schreiben wir:

BigInteger biasedExponent = new BigInteger( "10001111", 2 );
BigInteger mantisse = new BigInteger( "11100010010000001100101", 2 );
int exponent = (int) Math.pow( 2, biasedExponent.longValue() – 127 );
double m = 1. + (mantisse.longValue() / Math.pow( 2, 23 ));
System.out.println( exponent * m ); // 123456.7890625

Den Exponenten (ohne Bias) einer Fließkommazahl liefert Math.getExponent(…); auf unsere Zahl angewendet, ist das also 16.

Zugang zum Bitmuster liefern die Methoden long doubleToLongBits(double) bzw. int Float.floatToIntBits(float). Die Umkehrung ist double Double.longBitsToDouble(long) bzw. float Float.intBitsToFloat(int).

[zB]Beispiel

double x = 123456.789;
float y = 123456.789f;
out.printf( "%016x%n", Double.doubleToLongBits( x ) ); // 40fe240c9fbe76c9
out.printf( "%08x%n", Float.floatToIntBits( y ) ); // 47f12065
out.println( Long.toBinaryString( Double.doubleToLongBits( x ) ) );
out.println( Integer.toBinaryString( Float.floatToIntBits( y ) ) );

 


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